RĂłwnania rĂłĹźniczkowe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

okresie 2�/�0 i częstotliwości �0. Amplituda M i przesunięcie fazowe � zależą od warunków
początkowych. Częstotliwość �0 drgań własnych zależy tylko od masy m i współczynnika
sprężystości k.
Rozważmy teraz przypadek, gdy oscylator bez tłumienia jest wzbudzany harmonicznie
siłą f(t) = P sin �t. To znaczy rozważmy równanie
mx + kx = P sin �t.
Po podzieleniu obu stron równania przez m otrzymamy równanie niejednorodne
2
x + �0x = A sin �t, (19)
gdzie A = P/m. Rozwiązanie ogólne tego równania dane jest wzorem
x(t) = x0(t) + xf (t),
gdzie x0(t) określone jest wzorem (18), a xf (t) jest dowolną całką szczególną równania
niejednorodnego (19), którą wyznaczymy metodą przewidywań. Rozpatrzymy dwa przy-
padki.
1�% Przypadek podstawowy, gdy � = �0.
f(t) = A sin �t �! � = 0, � = �; � + i� = i� nie jest pierwiastkiem równania cha-
rakterystycznego, stąd
W.Grąziewicz R�WNANIA R�%7łNICZKOWE 91
xf (t) = B cos �t + D sin �t
x f (t) = -B� sin �t + D� cos �t
x f (t) = -B�2 cos �t - D�2 sin �t.
Wstawiamy x f i xf do równania (19) i otrzymujemy
2
-B�2 cos �t - D�2 sin �t + �0(B cos �t + D sin �t) = A sin �t, stąd
A A
B = 0, D = oraz xf(t) = sin �t.
2 2
�0 - �2 �0 - �2
Równanie ruchu (drgań) oscylatora ma w tym przypadku postać
A
x(t) = C1 cos �0t + C2 sin �0t + sin �t.
2
�0 - �2
Zatem na ruch składają sie dwa drgania harmoniczne: jedno z częstotliwością �0 drgań
własnych, drugie z częstotliwością � wymuszenia. W szczególności, przy zerowych warun-
kach początkowych, otrzymamy rozwiązanie dane wzorem
A �
x(t) = - sin �0t - sin �t .
2
�0 - �2 �0
Otrzymane rozwiązanie jest szczególnie interesujące, gdy � jest bliskie �0. Na wykresie
przedstawione są drgania bez tłumienia dla A = 1, �0 = 1, � = 1, 2.
Rys. 1
Takie drgania nazywają się biciem.
2�% Przypadek osobliwy, gdy � = �0. Wtedy � + i� = i�0 jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego i całkę szczególną równania nejednorodnego poszukujemy w postaci
xf(t) = t(B cos �0t + D sin �0t).
Obliczamy x f , x f, podstawiamy do równania niejednorodnego i otrzymujemy
A A
B = - , D = 0 �! xf (t) = - t cos t.
2�0 2�0
Zatem
A
x(t) = C1 cos �0t + C2 sin �0t - t cos �0t.
2�0
92 W.Grąziewicz R�WNANIA R�%7łNICZKOWE
Pierwszy część rozwiązania, odpowiadająca całce ogólnej równania jednorodnego, jest
funkcją okresową, ograniczoną. Odpowiada ona drganiom swobodnym. Druga część jest
funkcją nieograniczoną, jej amplituda dąży do nieskończoności. Zachodzi w tym przypad-
ku zjawisko rezonansu występujące wtedy, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest równa
częstotliwości własnej układu. W szczególności, przy zerowych warunkach początkowych
otrzymamy rozwiązanie dane wzorem
A A
x(t) = sin �0t - t cos �0t,
2
2�0 2�0
którego wykres przedstawiono na poniższym rysunku.
Rys.2
Niech teraz współczynnik p oporu ośrodka w równaniu (17) będzie większy od zera.
Oznaczmy dodatkowo h = p/2m. Wtedy równanie (17) przyjmie postać
f(t)
2
x + 2hx + �0x = . (20)
m
Rozwiążemy najpierw równanie jednorodne
2
x + 2hx + �0x = 0. (21)
Piszemy równanie charakterystyczne
2
�2 + 2h� + �0 = 0.
2
" = 4(h2 - �0). Rozpatrzymy przypadki:
1�% " > 0, tzn. h > �0 (opór stosunkowo duży). Wtedy
2 2
�1 = -h + h2 - �0, �2 = -h - h2 - �0 oba pierwiastki są rzeczywiste, ujemne.
Rozwiązanie wyraża się wzorem
" "
2 2
-h+ h2-�0 t -h- h2-�0 t
x0(t) = C1e + C2e .
W.Grąziewicz R�WNANIA R�%7łNICZKOWE 93
Przy t �! ", jest x0(t) �! 0. W tym przypadku mamy do czynienia z zanikaniem ruchu,
bez drgań. Wykres tego typu rozwiązania przedstawiony jest na poniższym rysunku.
Rys. 3
2�% "
Pierwiastkami równania charakterystycznego są
2 2
�1 = -h + i �0 - h2, �2 = -h - i �0 - h2,
zatem całka ogólna równania jednorodnego ma postać
2 2
x0(t) = e-ht C1 cos �0 - h2 t + C2 sin �0 - h2 t .
Czynnik w nawiasie odpowiada za drgania układu. Czynnik e-ht tłumi amplitudę tych
drgań, które zanikają w sposób wykładniczy. Wykres drgań tego typu przedstawiony jest
na poniższym rysunku.
Rys. 4
3�% " = 0, tzn. h = �0, �1,2 = -h. Rozwiązanie
x0(t) = (C1 + C2t)e-ht
dąży do zera przy t �! ". Ruch zanika bez drgań.
Załóżmy teraz, że na oscylator działa siła zewnętrzna f(t) = P sin �t. Równanie (20)
przyjmie teraz postać
2
x + 2hx + �0x = A sin �t, (22)
94 W.Grąziewicz R�WNANIA R�%7łNICZKOWE
gdzie A = P/m. Rozwiązanie tego równania jest sumą całki ogólnej x0(t) równania jed-
norodnego i całki szczególnej xf (t) równania niejednorodnego. Tę ostatnią wyznaczymy
metodą przewidywań. Zauważymy, że � + i� = i� nie jest pierwiastkiem równania cha-
rakterystycznego przy dowolnych �0 i h, więc xf jest funkcją postaci [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Menu